Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^3 − 4x^2 + 3x và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình x³ − 4x² + 3x = 0 <=> x(x² − 4x + 3) = 0 <=> x = 0, x = 1 hoặc x = 3.

b) Sai. Lấy x = 2 thuộc khoảng (1; 3), ta có 2³ − 4·2² + 3·2 = −2 < 0. Do đó đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

c) Đúng. Đồ thị nằm phía trên trục hoành tương ứng với đoạn [0; 1]:

\({S_1} = \int_0^1 {\left( {{x^3} - 4{x^2} + 3x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{4{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{5}{{12}}\).

d) Đúng. Diện tích phần nằm dưới trục hoành tương ứng đoạn [1; 3]:

\({S_2} = \int_1^3 {\left( { - {x^3} + 4{x^2} - 3x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3 = \left( { - \frac{{81}}{4} + 36 - \frac{{27}}{2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{{32}}{{12}}\)

Tổng diện tích \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{5}{{12}} + \frac{{32}}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}\).