Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x − 1)^2 − 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Khai triển y = (x − 1)² − 1 = x² − 2x + 1 − 1 = x² − 2x.

b) Sai. Phương trình x² − 2x = 0 có nghiệm x = 0 và x = 2. Trên (0; 2), hàm số nhận giá trị âm.

c) Đúng. \(\int_0^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)} dx + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx\).

d) Đúng. Thực hiện tính diện tích:

\(S = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)} dx + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3\)

\( = \left( {{2^2} - \frac{{{2^3}}}{3}} \right) - 0 + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - {3^2}} \right) - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) = \left( {4 - \frac{8}{3}} \right) + 0 - \left( {\frac{8}{3} - 4} \right) = \frac{8}{3}\).