Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = căn bậc hai của x và đường thẳng y = x. Quay hình phẳng này quanh trục Ox thu được một khối tròn xoay. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình \(\sqrt x = x \Leftrightarrow x = {x^2}\) (do x ≥ 0) <=> x(1 − x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.

b) Sai. Lấy giá trị x = \(\frac{1}{4}\) thuộc (0; 1), ta có \(\sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}\). Do đó đồ thị y = \(\sqrt x \) nằm phía trên y = x.

c) Sai. Công thức tính thể tích tạo bởi hai đường cong quay quanh trục Ox phải là V = \(\pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx\).

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích khối tròn xoay:

\(V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0} \right) = \frac{\pi }{6}\).