Xét hình chóp S. ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Mặt phẳng (P) đi qua M , song song với mặt phẳng (SAD)

Đáp án đúng là "5/11"

Phương pháp giải

Sử dụng mối liên hệ giữa các khối để tính tỉ số thể tích.

​

Do \(\left( P \right)\) qua \(M\) và song song với \(\left( {SAD} \right)\) nên \(\left( P \right)\) cắt các đoạn \(SC,DC,AB\) tại các điểm \(N,P,Q\) sao cho \(MN//PQ//AD,NP//SD,MQ//SA\).

Do \(M\) là trung điểm \(SB\) nên khi đó \(N,P,Q\) là trung điểm của \(SC,DC,AB\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối \(SADMNPQ\) và \(BCMNPQ\) như hình vẽ.

Có: \(\frac{{{V_{MBCPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {M;\left( {BCPQ} \right)} \right).{S_{BCPQ}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}} = \frac{{d\left( {M;\left( {BCPQ} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{{{S_{BCPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{MB}}{{SB}}.\frac{{{S_{BCPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\[\frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{{V_{MNPC}}}}{{2{V_{SBCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d(M;(NPC)).{S_{NPC}}}}{{2.\frac{1}{3}d(B;(SCD)).{S_{SCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{d(M;(NPC))}}{{d(B;(SCD))}}.\frac{{{S_{NPC}}}}{{{S_{SCD}}}}\]

\(\frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{MS}}{{BS}}.\frac{{CN}}{{CS}}.\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{{V_{MBCPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} + \frac{{{V_{MNPC}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{5}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{SADMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = 1 - \frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = 1 - \frac{5}{{16}} = \frac{{11}}{{16}}\)

\(\frac{{{V_{BCMNPQ}}}}{{{V_{SADMNPQ}}}} = \frac{{\frac{5}{{16}}}}{{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{5}{{11}}\).