Xét hàm số y = {x^3} - {m^2}{x^2} + {m^3}x - {m^3}. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể đồ thị hàm số của hàm số trên không có điểm cực trị nào

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Nếu hàm bậc ba không có điểm cực trị nào thì đạo hàm của hàm số đó luôn không dương hoặc không âm.

Lời giải

Có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2{m^2}x + {m^3}\)

Để hàm số bậc ba đã cho không có điểm cực trị

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {m^4} - 3{m^3} \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ {0;3} \right]\). (do hệ số bậc hai của đạo hàm là dương nên cần chọn điều kiện \(f'\left( x \right) \ge 0\))

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.