Xét hàm số \[y = {x^3} - {m^2}{x^2} + {m^3}x - {m^3}.\] Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị

Phương pháp giải:

Nếu hàm bậc ba không có điểm cực trị thì đạo hàm của hàm số đó luôn không dương

hoặc luôn không âm trên \(\mathbb{R}\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                           \[f'(x) = 3{x^2} - 2{m^2}x + {m^3}.\]

Để hàm số bậc ba đã cho không có điểm cực trị thì phương trình \(f'(x) = 0\)

không có hai nghiệm phân biệt, hay:

                                                             \[\Delta \le 0.\]

Tính biệt thức:

   \[\Delta = {( - 2{m^2})^2} - 4 \cdot 3 \cdot {m^3} = 4{m^4} - 12{m^3} = 4{m^3}(m - 3).\]

Vì hệ số của \({x^2}\) trong \(f'(x)\) là \(3 > 0\), nên để \(f'(x) \ge 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\)

ta cần:

     \[\Delta \le 0\; \Leftrightarrow \;{m^3}(m - 3) \le 0\; \Leftrightarrow \;m \in [0;3].\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:

                                                             \[m = 0,1,2,3.\]

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của \(m\).