Xét hàm số f(x) = (∣x^3 − 3x + 2∣ + 2025)/(| x^3 − 3x + 2| + 2024) và gọi S là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 29. Chọn ngẫu nhiên hai số a , b ∈ S

87/90

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {{x^3} - 3x + 2} \right| + 2025}}{{\left| {{x^3} - 3x + 2} \right| + 2024}}\) và gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 29. Chọn ngẫu nhiên hai số \(a,b \in S\) với \(a < b\). Tính xác suất để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

\(\frac{{381}}{{1711}}\).

\(\frac{{124}}{{1572}}\).

\(\frac{{117}}{{532}}\).

\(\frac{{544}}{{2051}}\).

Giải thích

Giải chi tiết

Đặt \(t = \left| {{x^3} - 3x + 2} \right|\);
\(t' = \frac{{\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)\left( {3{x^2} - 3} \right)}}{{\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|}};\)\(t' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) và \(t'\) không xác định tại \(x = - 2;x = 1\);
Bảng biến thiên:

Đáp án đúng là: 48 Phương pháp giải (ảnh 1)

Hàm số có dạng \(f\left( t \right) = \frac{{t + 2025}}{{t + 2024}};t \ge 0;f'\left( t \right) = \frac{{ - 1}}{{{{(t + 2024)}^2}}} < 0,\forall t \ge 0\).
Để hàm \(f\left( x \right)\) đồng biến thì \(t\) phải nghịch biến \( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\) hoặc \(\left( { - 1;1} \right)\).
Gọi \(A\) là biến cố " Chọn ngẫu nhiên hai số \(a,b \in S\) với \(a < b\) để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) "
TH1. Chọn \(a,b\) thỏa mãn \( - 29 \le a < b \le - 2\) có \(C_{28}^2\) cách
TH2. Chọn \(a\), b thỏa mãn \( - 1 \le a < b \le 1\) có \(C_3^2\) cách
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{28}^2 + C_3^2,n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{59}^2\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{C_{28}^2 + C_3^2}}{{C_{59}^2}} = \frac{{381}}{{1711}}\).

Đáp án cần chọn là: A