Xét hàm số f(x) có đạo hàm trên R. Bảng biến thiên của hàm số y = f'( {2x - 1} có dạng  như dưới đây:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Từ bảng biến thiên suy ra nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số đề bài yêu cầu.

Lời giải

Thêm hàng \(2x - 1\) vào bảng biến thiên, ta có:

Khi đó, ta suy ra phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm \(a \in \left( {3;5} \right);b \in \left( {5;7} \right);c \in \left( {7; + \infty } \right)\)

Có \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 4} \right)f'\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 3 = a}\\{{x^2} - 4x + 3 = b}\\{{x^2} - 4x + 3 = c}\end{array}} \right.\)

Do \(c > b > a > 3\) nên tất cả các phương trình bậc hai trên đều có hai nghiệm phân biệt. Đặc biệt, do \(a > 3\) nên tổng hợp lại, 3 phương trình bậc hai trên có 6 nghiệm phân biệt thoả mãn \({c_1} < {b_1} < {a_1} < 0 < 4 < {a_2} < {b_2} < {c_2}\).

Như vậy, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có tất cả 7 nghiệm phân biệt. Mặt khác, ta có \(g'\left( 3 \right) = 2f'\left( 0 \right) < 0\). Khi đó, ta có bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\) như sau:

Như vậy, hàm số \(g\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).