Xét hàm số f(x) có đạo hàm trên R. Bảng biến thiên của hàm
95/235
Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\)Bảng biến thiên của hàm số \(y = f'(2x - 1)\) có dạng như dưới đây:
Hỏi hàm số \(g(x) = f({x^2} - 4x + 3)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây:
\(\left( {0;2} \right).\)
\(\left( {2;4} \right).\)
\(\left( {4;6} \right).\)
\(\left( { - 2;0} \right).\)
Giải chi tiết:
Thêm hàng \(2x - 1\) vào bảng biến thiên, ta có:
Khi đó, ta suy ra phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm \(a \in (3;5);\,\,b \in (5;7);\,\,c \in (7; + \infty )\)
Có \(g'(x) = (2x - 4)f'({x^2} - 4x + 3).\) Cho
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 3 = a}\\{{x^2} - 4x + 3 = b}\\{{x^2} - 4x + 3 = c}\end{array}} \right.\)
Do \(c > b > a > 3\) nên tất cả các phương trình bậc hai trên đều có hai nghiệm phân biệt. Đặc biệt, do \(a > 3\) nên tổng hợp lại, \(3\) phương trình bậc hai trên có \(6\) nghiệm phân biệt thoả mãn
\({c_1} < {b_1} < {a_1} < 0 < 4 < {a_2} < {b_2} < {c_2}.\)
Như vậy, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có tất cả \(7\) nghiệm phân biệt. Mặt khác, ta có \[g'\left( 3 \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2,\,\,f'\left( 0 \right){\rm{ }} < {\rm{ }}0.\] Khi đó, ta có bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\) như sau:
Như vậy, hàm số \(g\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0;2} \right).\)
Đáp án cần chọn là: A