Xét hàm số f(x) = căn bậc hai của (4(x^2) - 4x + 1). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau về tích phân I = 0∫ 2 f (x)dx:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có biến đổi: \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {2x - 1} \right|\).

b) Sai. Hàm số \(f(x) = \left| {2x - 1} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right]\), do đó không thể luôn đồng biến trên toàn bộ đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

c) Đúng. Xét phương trình \(2x - 1 = 0\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\). Điểm \(x = \frac{1}{2}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Sử dụng tính chất cộng đoạn của tích phân, ta có: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx\)

Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\), ta có \(2x - 1 \le 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\).

Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\), ta có \(2x - 1 \ge 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\).

Do đó: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\).

d) Đúng. Ta có: \[I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\]

\[ = \left( {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {4 - 2} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}\].