Xét hàm số f(x) = căn bậc hai (ax^2 - 3) + căn bậc hai (bx^2 + 12x + 3) - 5x

50/234

Xét hàm số \[f(x) = \sqrt {a{x^2} - 3} + \sqrt {b{x^2} + 12x + 3} - 5x\quad (a,b > 0).\] Biết \(a + b = 13\), đồng thời \(f(x)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \). Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x).\]

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

Điều kiện để \(f(x)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \) là hệ số của \(x\) triệt tiêu:

\[\sqrt a + \sqrt b - 5 = 0.\]

Kết hợp với điều kiện

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 13,}\\{\sqrt a + \sqrt b = 5,}\end{array}} \right.\]

suy ra hai nghiệm:

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a,b) = (4,9)}\\{(a,b) = (9,4)}\end{array}} \right.\]

Trường hợp 1: \(a = 4,\;b = 9\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3} + \sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x} \right).\]

Ta có:

\[\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {4{x^2} - 3} + 2x}} \Leftrightarrow 0,\]

\[\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x = \frac{{12x + 3}}{{\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} + 3x}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{3 + 3}} = 2.\]

Suy ra

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2.\]

Trường hợp 2: \(a = 9,\;b = 4\).

Làm tương tự, ta cũng được:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) là \[2.\]