Xét hàm số f(x) = 2x + a khi x < 1; (x^2) + b khi x lớn hơn hoặc bằng 1. Biết hàm số liên tục tại x = 1 và 0∫2 f(x) dx = 16/3 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + a)\) = 2 + a.

b) Đúng. Giới hạn phải tại x = 1 là 1 + b. Hàm số liên tục nên 2 + a = 1 + b hay a − b = −1.

c) Đúng. \(\int_0^1 {\left( {2x + a} \right)} dx\) = \(\left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_0^1\) = 1 + a.

d) Sai. Xét phần tích phân trên [1; 2]:

 \(\int_1^2 {({x^2} + b)} dx\) = \(\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + bx} \right)} \right|_1^2\) = \(\left( {\frac{8}{3} + 2b} \right) - \left( {\frac{1}{3} + b} \right)\) = \(\frac{7}{3} + b\).

Khi đó \(\int_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int_1^2 {f\left( x \right)} dx\)Û a + b + \(\frac{{10}}{3}\) = \(\frac{{16}}{3}\) suy ra a + b = 2.

Từ hệ phương trình a − b = −1 và a + b = 2 ta được a = 0,5 và b = 1,5.