Xét hai số phức z1 , z2 thay đổi thỏa mãn modun z1 - z2 = modun z1 + z2 - 1 - 2i = 4. Gọi A , B lần lượt là giá trị nhỏ nhất

Xét hình bình hành OMPQ, ở đó ÔPO là gốc tọa độ, M, Q lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức z1, z2, từ đó suy ra điểm PPP biểu diễn cho số phức z1+z2. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

z1+z2−|1+2i|≤z1+z2−1−2i≤z1+z2+|1+2i|⇒4−5≤z1+z2≤4+5.

Theo công thức hình bình hành, ta có OP2+MQ2=2OM2+OQ2. Từ đó suy ra

|z1+z2|2+|z1−z2|2=2|z1|2+|z2|2⇒|z1|2+|z2|2=1216+|z1+z2|2.

Theo chứng minh trên, ta có 21−85≤|z1+z2|2≤21+5 nên

372−45=1216+4−52≤z1+z22≤1216+4−52=372+45.

Từ đó suy ra A=1216+4−52=372−45 và B=1216+4+52=372+45.

Vậy A + B = 37.