Xét giới hạn lim khi n → dương vô cùng của (căn bậc hai của (n^2 + an) − căn bậc hai của (n^2 + bn)) = 3. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

Nhân lượng liên hợp \(\left( {\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} } \right)\) ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} + an} - \sqrt {{n^2} + bn} } \right)\left( {\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} } \right)}}{{\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} }}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + an} \right) - \left( {{n^2} + bn} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + an - {n^2} - bn}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{a}{n}} \right)} + \sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{b}{n}} \right)} }}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {a - b} \right)}}{{n\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + n\sqrt {1 + \frac{b}{n}} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n(a - b)}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + \sqrt {1 + \frac{b}{n}} } \right)}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a - b}}{{\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + \sqrt {1 + \frac{b}{n}} }}\) = \(\frac{{a - b}}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 + 0} }} = \frac{{a - b}}{2}\).

a) Đúng. Do giới hạn có dạng vô định (∞ - ∞) biểu thức liên hợp cần sử dụng để nhân và chia nhằm khử dạng vô định là \[\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} \].

b) Đúng. Giới hạn bằng \(\frac{{a - b}}{2}\) ⇒ phụ thuộc cả a và b.

c) Đúng. Nếu b = 0, ta có \(\frac{a}{2}\) = 3 ⇒ a = 6.

d) Sai. Phương trình \(\frac{{a - b}}{2}\) = 3 ⇒ a - b = 6 ⇒ Có vô số cặp số (a; b) thỏa mãn.