Xét diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 4 − x^2 và y = x^2 − 2x. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 − x² = x² − 2x <=> 2x² − 2x − 4 = 0.

b) Đúng. Giải phương trình 2x² − 2x − 4 = 0 <=> x = −1 hoặc x = 2.

c) Sai. Tại x = 0 thuộc đoạn [−1; 2], y = 4 − 0² = 4 và y = 0² − 2·0 = 0.

Vì 4 > 0 nên đồ thị y = 4 − x² nằm phía trên.

d) Đúng. Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int_{ - 1}^2 {\left( {4 - {x^2} - \left( {{x^2} - 2x} \right)} \right)} dx = \int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} + {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2\)

\( = \left( { - \frac{{16}}{3} + 4 + 8} \right) - \left( {\frac{2}{3} + 1 - 4} \right) = \frac{{20}}{3} - \left( { - \frac{7}{3}} \right) = 9\)