Xét dãy vn:\;{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n},\;n lớn hơn bằng 1

92/235

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 24 đến 25.

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi công thức \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1,}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{3^n}}},\quad n \ge 1.}\end{array}} \right.\]

Xét dãy \(({v_n}):\;{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n},\;n \ge 1.\) Khi đó \({v_1} + {v_2} + \cdots + {v_n}\) bằng

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\)

\(\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)

\(1 - \frac{1}{{{3^n}}}\)

\(2\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng tổng của cấp số nhân.

Giải chi tiết:

Ta có

\[{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{3^n}}},\quad n \ge 1.\]

Vậy \(({v_n})\) là một cấp số nhân với

\[{v_1} = \frac{1}{3},\quad q = \frac{1}{3}.\]

Do đó \[{v_1} + {v_2} + \cdots + {v_n} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right).\]

Đáp án: A