Xét dãy số u_n = (n^k + 2n)/(n^2 + 1), với k là số nguyên dương. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Khi k = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 1}} = 0\).

b) Đúng. Khi k = 2, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{{n^2} + 2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 1\).

c) Sai. Khi k = 3, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\] = \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\] = +∞.

d) Sai.

Trường hợp 1: k = 1 (Bậc tử nhỏ hơn Bậc mẫu) Như câu a đã tính: lim u_n = 0 ≠ 2.

Trường hợp 2: k = 2 (Bậc tử bằng Bậc mẫu) Như câu b đã tính: lim u_n = 1 ≠ 2.

Trường hợp 3: k ≥ 3 (Bậc tử lớn hơn Bậc mẫu), ta có:

u_n = \(\frac{{{n^k} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\) = \(\frac{{{n^k} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = {n^{k - 2}} \cdot \frac{{1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\).

Khi n → +∞:

Vì k ≥ 3 nên k – 2 ≥ 1, do đó lim n^k-2 = +∞⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = +∞.