Xét dãy số u_n = ((−1)^n + 2^n)/3^n. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

19/25

Xét dãy số u_n = \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} + {2^n}}}{{{3^n}}}\). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{3^n}}}\) = 0.

ĐúngSai

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}\) = 0.

ĐúngSai

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 1.

ĐúngSai

Giá trị tuyệt đối của u_n ≤ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) với mọi n.

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}\) = 0 do \(\left| { - \frac{1}{3}} \right|\) < 1.

b) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) = 0.

c) Sai. Ta có u_n = \({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}\) + \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 0 + 0 = 0.

d) Đúng. Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |x + y| ≤ |x| + |y|, ta có:

|u_n| ≤ \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^n}}}} \right| + \left| {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right|\) = \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) + \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).