Xét các số thực x, y thỏa mãn x > 2y và log cơ số 2 của (1 + x^2 + y^2)/(x - 2y) = 4x - 2y - 2·2^(x^2 + y^2 + 1). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} > 0 \Leftrightarrow x - 2y > 0 \Leftrightarrow x > 2y\)

Phương trình đã cho tương đương

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) - {\log _2}\left( {x - 2y} \right) = {2^{2x - 4y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} + {y^2} + 1) + {2^{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\log _2}(2x - 4y) + {2^{2x - 4y}}\)

Xét hàm số \(f(t) = {\log _2}t + {2^t};f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + {2^t}\ln 2 > 0\), suy ra \(f(t)\) đồng biến.

Suy ra \(f({x^2} + {y^2} + 1) = f(2x - 4y) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4\).

Mặt khác \(P = 3x - 4y \Leftrightarrow P - 11 = 3(x - 1) - 4(y + 2)\).

Suy ra

\({(P - 11)^2} \le \left( {{3^2} + {{( - 4)}^2}} \right)\left[ {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \right] = 100 \Leftrightarrow 1 \le P \le 21\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}}\).

Vậy \(Mm = 21\).

Đáp án cần chọn là: C