Xét các số thực x, y thỏa mãn log1/2(x) + log2(x^2+y)<=-2log1/4(y). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 4y .

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x,y>0. Bất phương trình đã cho tương đương

log12x+log2x2+y≤−2log14y⇔log2x2+yx≤log2y⇔x2+yx≤y⇔x2+y≤xy.

Xét 0<x≤1, ta có x2+y≤xy⇔x2≤x−1y≤0 (vô nghiệm).

Xét x>1, ta có P=3x+4y>3x>3. (1)

Mặt khác P=3x+4y⇔y=P−3x4 suy ra.

x2+y≤xy⇔x2+P−3x4≤x⋅P−3x4⇔7x2−P+3x+P≤0

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 7x2−P+3x+P≤0 có nghiệm.

Do đó Δ=P+32−28P≥0⇔P2−22P+9≥0⇔P≥11+47P≤11−47. (2)

Từ (1) và (2) suy ra P≥11+47.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

7x2−14+47x+11+47≤0⇔x=7+277⇒y=28+11714.