Xét các số thực x,y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2).4^x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+4/2x-y+1 gần nhất

Chọn C

Nhận xét x2+y2−2x+2>0∀x;y

Bất phương trình 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+2.4x⇔2x2+y2+122x≤x2+y2−2x+2.

⇔2x2+y2−2x+1≤x2+y2−2x+2

Đặt  t=x2+y2−2x+1

Bất phương trình ⇔2t≤t+1⇔2t−t−1≤0

Đặt ft=2t−t−1. Ta thấy f0=f1=0 .

Ta có f't=2tln2−1

f't=0⇔2tln2=1⇔t=log21ln2≈0,52

Quan sats BBT ta thấy ft≤0⇔0≤t≤1

 0≤x2+y2−2x+1≤1⇔x−12+y2≤1(1)

Xét  P=8x+42x−y+1⇔2Px−Py+P=8x+4

⇔P−4=8−2Px+Py⇔P−4+2P−8=8−2Px+2P−8+Py

⇔3P−12=8−2Px−1+Py

⇔3P−122=8−2Px−1+Py2≤8−2P2+P2x−12+y2

Thế vào ta có 3P−122≤8−2P2+P2⇔4P2−40P+80≤0⇔5−5≤P≤5+5 .

Dấu “=” xảy ra khi 8−2PP=x−1y=−25x−12+y2=1⇔x−1=−25y−25y2=1⇔x−1=−25yy=±53⇔x=13y=53x=53y=−53

Vậy giá trị nhỏ nhất của là  5−5≈2,76 gần giá trị 3 nhất.