Xét các số thực x và y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2)4x^2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=4y/2x+y+1 gần nhất

Lời giải

Chọn A

Ta có: 2x2+y2+1≤x2+y2−2x+24x⇔2x2−2x+1+y2≤x2−2x+1+y2+1.

Đặt t=x2−2x+1+y2⇒t≥0. Khi đó ta có 2t≤t+1, ∀t≥0.

Đặt ft=2t−t−1, ∀t≥0, ta có: f't=2tln2−1, cho f't=0.

Ta nhận thấy phương trình f't=0 có một nghiệm nên phương trình ft=0 có tối đa hai nghiệm.

Mặt khác ta có f0=f1=0. Suy ra phương trình   ft=0 có hai nghiệm t=1 và t=0.

Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số  như sau:

Khi đó ft≤0⇔t∈0;1. Suy ra x2−2x+1+y2≤1⇔x−12+y2≤1.

Khi đó tập hợp các điểm Mx;y là một hình tròn S tâm I1;0, bán kính R=1.

Ta có: P=4y2x+y+1⇔2Px+P−4y+P=0.

Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm Mx;y là một đường thẳng .

Để Δ và  có điểm chung, ta suy ra dI,Δ≤1.

 ⇔2P+P2P2+P−42≤1⇔3P≤5P2−8P+16

⇔4P2+8P−16≤0⇔−1−5≤P≤−1+5.

Ta suy ra Pmax=−1+5. Dấu "=" xảy ra khi  x=13y=−53