Xét các số thực không âm \(a,b,c\)thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Ta có nhận xét sau

\[{\left( {\frac{1}{{\sqrt {a + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 1} }}} \right)^2} = \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} }}\]

\[ = \frac{{a + b + 2}}{{ab + a + b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {ab + a + b + 1} }} \le \frac{{a + b + 2}}{{a + b + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {a + b + 1} }}\]\[ = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt {a + b + 1} }}} \right)^2}\]

Do đó ta được \[\frac{1}{{\sqrt {a + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 1} }} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {a + b + 1} }}\].

Mặt khác, ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\] suy ra \[a + b \ge 1 - c\].

Từ đây kết hợp với \[c \le 1\] (vì \[c \ge 0\] và \[{c^2} \le 1\]), ta suy ra

\[P \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {2 - c} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2} }}\]\[ = 1 + \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {2 - c} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2} }}} \right)}^2}} \]\[ = 1 + \sqrt {\frac{1}{{2 - c}} + \frac{1}{{2 + c}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - {c^2}} }}} \]

\[ = 1 + \sqrt {\frac{4}{{4 - {c^2}}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - {c^2}} }}} \]\[ \le 1 + \sqrt {\frac{4}{{4 - 1}} + \frac{2}{{\sqrt {4 - 1} }}} \]\[ = 2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi \[a = b = 0,c = 1\]. Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] là \[2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].