Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=4 và xy+yz+zx=5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chọn B

Ta có: x+y+z=4xy+yz+zx=5⇔x+y=4−zxy=5−zx+y=5−4z+z2.

Lại có:x+y2≥4xy x+y⇒4−z2≥45−4z+z2⇒23≤z≤22. Dấu '=" xảy ra khi x=y.

Và x+y+z3=x3+y3+z3+3x+y+zx+yz+3xyx+y

⇒x3+y3+z3=43−12x+yz−3xyx+y=64−34−z5+z2.

Ta có: P=x3+y3+z31x+1y+1z=3z3−12z2+15z+45z3−4z2+5z.

Đặt t=z3−4z2+5z, với 23≤z≤2⇒5027≤t≤2.

Do đó xét hàm số ft=54t+3, với 5027≤t≤2.

Ta có f't=−20t2<0, ∀t∈5027;2 nên hàm số ft liên tục và nghịch biến.

Do đó Pmin=f2=25 đạt tại x=y=1, z=2.