Xét các số thực dương x, y thỏa mãn x + 6y ≤ 52. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 3y + 4/x + 9/y.

Bổ đề: Cho hai số không âm \(a,\;b\) ta luôn có \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0,\) dẫn đến \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\) Dấu bằng xảy ra khi \(a = b.\)

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\[16x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt {16x \cdot \frac{4}{x}}  = 16\]; \(81y + \frac{9}{y} \ge 2\sqrt {81y \cdot \frac{9}{y}}  = 54\).

Khi đó ta được \[16x + \frac{4}{x} + 81y + \frac{9}{y} \ge 70\]

\(P = 3x + 3y + \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \left( {16x + \frac{4}{x} + 81y + \frac{9}{y}} \right) - 13\left( {x + 6y} \right) \ge \frac{{75}}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{{75}}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = \frac{1}{3}.\)