Xét các số thực dương a,b thoả mãn log2 1-ab/a+b.

Phát biểu	Đúng	Sai
\[a + b = 1 - ab\].	¡	¤
\[P = a + b\] đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = 2 - b = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).	¡	¤
Giá trị nhỏ nhất của \[P = a + b\] bằng \( - 1 + \sqrt 5 \).	¤	¡

Giải thích

Điều kiện \(1 - ab > 0 \Leftrightarrow ab < 1\).

Ta có \({\log _2}\frac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right) - 2\left( {1 - ab} \right) - 1\)

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) + 1 + 2\left( {1 - ab} \right) = {\log _2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\]

\( \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {1 - ab} \right) + 2\left( {1 - ab} \right) = {\log _2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right).\,\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\) có \({f^\prime }\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có (1)\( \Leftrightarrow f2\left( {1 - ab} \right) = f\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = a + b \Leftrightarrow 2 - a = b\left( {2a + 1} \right) \Leftrightarrow b = \frac{{2 - a}}{{2a + 1}}\).

Do \(a,b > 0 \Rightarrow \frac{{2 - a}}{{2a + 1}} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < 2\).

Khi đó \(P = a + b = a + \frac{{2 - a}}{{2a + 1}} = \frac{{2{a^2} + 2}}{{2a + 1}}\)

Xét hàm \(g\left( a \right) = \frac{{2{a^2} + 2}}{{2a + 1}} \Rightarrow g'\left( a \right) = \frac{{4{a^2} + 4a - 4}}{{2a + 1{)^2}}} \Rightarrow g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)

Bảng biến thiên

Vậy \[{P_{min}} = {\rm{ }} - 1 + \sqrt 5 \].