Xét các số thực dương \(a,b,c\); Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

Đặt \(Q = a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} \)

\({Q^2} = {\left[ {\sqrt a \sqrt {{a^3} + 9ac} + \sqrt b \sqrt {{b^3} + 9ac} + \sqrt c \sqrt {{c^3} + 9ab} } \right]^2} \le \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right)\)

Ta lại có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^3} - 24abc\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 3abc} \right]\) mà \(3abc \le \) \(\frac{{{{\left( {a + b + C} \right)}^3}}}{9}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + 27abc} \right) \le \frac{{10{{\left( {a + b + c} \right)}^4}{\rm{\;\;}}}}{9}\)

\( \Rightarrow Q \le \frac{{\sqrt {10} {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\;\)mà \(\left( {a\sqrt {{a^2} + 9bc} + b\sqrt {{b^2} + 9ac} + c\sqrt {{c^2} + 9ab} } \right).F \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

Suy ra \(F \ge \) \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Vậy min F = \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)