Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z^2 – wz – 4 | bằng
Giải thích
Đáp án đúng là: C
Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ).
Þiw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i
= ci + di2 – 2 + 5i
= (c + 5)i – d – 2
Khi đó ta có:
• |z| = a2+b2=2 Þ a2 + b2 = 4
Þ a, b ∈ [–2; 2]
• |iw – 2 + 5i| = c+52+−d−22=1
Þ (c + 5)2 + (d + 2)2 = 1
Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1].
Ta có:
T = |z2 –wz – 4|
= |z2 – wz − |z|2|
= |z2 – wz – z . z¯|
= |z| . |z − z¯ − w|
= 2|z − z¯ − w|
Þ T = 2|2bi – (c + di)|
= 2|– c + (2b – d)i|
= 2(2b−d)2+c2 ≥ 2c2 = 2|c| ≥ 2.4 = 8
(do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : c=−42b−d=0(c+5)2+(d+2)2=1 Þ c=−4d=−2b=−1
Vậy |z2 – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.