Xét các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân? Dãy 1: un = (-3)2n + 1; Dãy 2: un = (-1)n.53n + 2; Dãy 3: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = u_n^2\end{array} \right.\)

Đáp án: 3.

Dãy 1. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 3}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\) nên dãy 1 là cấp số nhân.

Dãy 2. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot {5^{3\left( {n + 1} \right) + 2}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot {5^{3n + 2}}}} = - 1 \cdot {5^3} = - 125\) nên dãy 2 là cấp số nhân.

Dãy 3. Ta có: \({u_2} = u_1^2 = 3;\,\,{u_3} = u_2^2 = 16;\,\,{u_4} = u_3^2 = 256\).

Suy ra \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{2} = 2\) và \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{256}}{{16}} = 16\) => \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\) do đó, dãy 3 không phải là cấp số nhân.

Dãy 4. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{9}{{{u_n}}}}}{{\frac{9}{{{u_{n - 1}}}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).

Do đó, có: u₁ = u₃ = u₅ = ... = u_{2n + 1}... (1) và u₂ = u₄ = u₆ = ... = u_2n = .... (2)

Theo đề bài, ta có: u₁ = 3 => u₂ = \(\frac{9}{{{u_1}}}\) = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅ = ... = u_2n = u_{2n + 1}. Do đó, dãy 4 là cấp số nhân với công bội q = 1.

Vậy có 4 dãy là cấp số nhân, đó là: dãy 1, dãy 2, dãy 4.