Xét biểu thức U = 1/(x(x + 1)) + 1/((x + 1)(x + 2)).

a) Sai. Ta có \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

b) Đúng. \(U = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}\).

c) Đúng. \(U = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} + 2x}}\).

d) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức \(U\) ban đầu là \(x \ne 0\), \(x \ne  - 1\) và \(x \ne  - 2\).

Với \(x\) nguyên, để biểu thức \(U = \frac{2}{{{x^2} + 2x}}\) nhận giá trị nguyên, thì \[{x^2} + 2x = x\left( {x + 2} \right)\] phải là ước nguyên của 2.

Mà Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}\]. Ta xét các trường hợp:

⦁ \({x^2} + 2x = 1\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 2\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 2\) suy ra không có giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

⦁ \({x^2} + 2x =  - 1\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 0\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\), suy ra \(x =  - 1\).

⦁ \({x^2} + 2x = 2\) hay \({x^2} + 2x + 1 = 3\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\) suy ra không có giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

⦁ \({x^2} + 2x =  - 2\) hay \({x^2} + 2x + 1 =  - 1\), tức là \({\left( {x + 1} \right)^2} =  - 1\) (vô lí).

Do đó có đúng một giá trị nguyên là \(x =  - 1\). Tuy nhiên, khi đối chiếu với ĐKXĐ ban đầu, giá trị \(x =  - 1\) làm phân thức không xác định.

Vậy không có giá trị nguyên nào của \(x\) để biểu thức \(U\) nhận giá trị nguyên.