Xét biểu thức K = ((x + 1)/(x - 1) - (x - 1)/(x + 1) + 4x/(x^2 - 1)) : (2x/(x - 1)).

a) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức M là \[x - 1 \ne 0,\,\,x + 1 \ne 0,\,\,{x^2} - 1 \ne 0,\,\,\frac{{2x}}{{x - 1}} \ne 0,\] tức là \(x \ne 1,x \ne  - 1\) và \(x \ne 0\).

b) Đúng. Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\)

                        \( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4x}}{{{x^2} - 1}}\)

                        \( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4x}}{{{x^2} - 1}}\)

                        \( = \frac{{8x}}{{{x^2} - 1}}.\)

c) Đúng. Ta có \(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}} \right):\frac{{2x}}{{x - 1}}\)

                             \( = \frac{{8x}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2x}}\)

                             \( = \frac{{8x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2x}} = \frac{4}{{x + 1}}.\)

d) Sai. Với \(x\) nguyên, để \(K\) nguyên thì \(x + 1\) phải là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x + 1 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Từ đó ta tính ra các giá trị \(x\) tương ứng: \(x \in \left\{ {0;\,\, - 2;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}\).

Các giá trị \(x = 0\) và \(x = 1\) không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy có 4 giá trị hợp lệ là \[x \in \left\{ { - 2;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}.\]