Xét ba số \(x,\,y,\,z \ge 2\) thỏa mãn

Sử dụng bất đẳng thức: Với \(a,b,c \ge 0,\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \le \sqrt {3(a + b + c)} .\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(Q = \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{4}{{{y^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{4}{{{z^2}}}} \le \sqrt {3\left[ {3 - 4\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)} \right]} = \sqrt {9 - 12\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)} \)

Lại có \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}.\]

Suy ra \(Q \le \sqrt {9 - 4{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} .\)

Từ giả thiết \(4xyz = 9(x + y + z) + 27 \Leftrightarrow 9\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) + \frac{{27}}{{xyz}} = 4\,\,(*)\)

Với \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} \le \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}\)và \(\frac{1}{{xyz}} \le \frac{1}{{27}}.{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3}\)

Từ (*) ta có \[3{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3} \ge 4{\rm{ }}\left( {**} \right)\]

Đặt \(t = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} > 0\).

Khi đó \((**) \Leftrightarrow \)\[{t^3} + 3{t^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right){\left( {t + 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 1\] (do \({\left( {t + 2} \right)^2} > 0\)).

Suy ra \(Q \le \sqrt {9 - 4{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \le \sqrt {9 - {{4.1}^2}} = \sqrt 5 .\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 3.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(\sqrt 5 .\)