Xếp ngẫu nhiên 7 cuốn sách khác nhau có tính thứ tự, trong đó có một cuốn là sách Toán, vào một giá sách có 4 ngăn. Biết rằng sau khi xếp, mỗi ngăn đều có ít nhất một cuốn sách.

Gọi số sách trong \(4\) ngăn lần lượt là \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4}\). Khi đó, tổng số sách bằng \(7\) và mỗi ngăn nhiều hơn một cuốn sách. Để có duy nhất một ngăn nhiều sách nhất thì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn, ba ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn và 4 là số lớn nhất duy nhất, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 4 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp trong trường hợp này là \(n\left( {{A_1}} \right) = 4.7!\) cách.
Trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có 3 cuốn, ngăn nhiều thứ hai có 2 cuốn, hai ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 3 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Chọn 1 ngăn (trong 3 ngăn còn lại) để chứa 2 cuốn có \(C_3^1 = 3\) cách. Hai ngăn còn lại mỗi ngăn chứa 1 cuốn.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp là \(n\left( {{A_2}} \right) = 4.3.7! = 12.7!\) cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \[n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) = 4.7!\, + 12.7! = 16.7!\]
Biến cố \(B\) yêu cầu sách Toán phải nằm trong ngăn nhiều sách nhất.
Vì vai trò của các cuốn sách là như nhau nên xác suất để cuốn sách Toán rơi vào một nhóm \(k\) vị trí trong tổng số \(7\) vị trí là \(\frac{k}{7}\).
Trong trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn nên xác suất sách Toán nằm ở ngăn này là: \(\frac{4}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{4}{7}.n\left( {{A_1}} \right) = \frac{4}{7}.4.7! = \frac{{16}}{7}.7!\).
Trong trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có \(3\) cuốn nên xác suất sách Toán nẳm ở ngăn này là: \(\frac{3}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{3}{7}.n\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{7}.12.7! = \frac{{36}}{7}.7!\)
Tổng số cách thuận lợi: \(n\left( {A \cap B} \right) = \left( {\frac{{16}}{7} + \frac{{36}}{7}} \right).7! = \frac{{52}}{7}.7!\)
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{52}}{7}.7!}}{{16.7!}} = \frac{{13}}{{28}} \approx 0,46\)