Xếp \(5\) học sinh nam và \(2\) học sinh nữ vào một ghế dài

a) Đúng: Số cách xếp ngẫu nhiên \(7\) học sinh không kể nam nữ lên ghế là một hoán vị của \(7\): \[{P_7} = 5040\].

b) Sai: Các học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau, ta coi các bạn nam là nhóm A, các bạn nữ là nhóm B. Xếp \(2\) nhóm này lên ghế có: \(2! = 2\) cách.

Hoán vị \(5\) học sinh nam có: \(5! = 120\) cách

Hoán vị \(2\) học sinh nữ có: \(2! = 2\) cách

Vậy số cách xếp để học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau là \(2.120.2 = 480\)cách.

c) Đúng: Xếp \(2\) học sinh nữ vào \(2\) đầu ghế có: \(2! = 2\) cách.

Xếp \(5\) học sinh nam vào \(5\) vị trí ở giữa có: \(5! = 120\) cách

Vậy số cách xếp để \(2\) học sinh nữ ngồi ở \(2\)đầu ghế là \(2.120 = 240\)cách.

d) Đúng: Để \(2\) học sinh nữ ngồi cạnh nhau ta coi \(2\) học sinh nữ là nhóm A.

Xếp nhóm \(A\) và \(5\) học sinh nam ghế có: \(6! = 720\) cách.

Hoán vị \(2\) học sinh nữ có: \(2! = 2\) cách

Vậy số cách xếp để \(2\) học sinh nữ ngồi cạnh nhau là \(720.2 = 1440\)cách.

Suy ra xếp \(7\) học sinh vào ghế, số cách xếp để\(2\) học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là \[5040 - 1440 = 3600\].