(Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển động đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Đáp án: \(84,6\).

1. Thiết lập hệ tọa độ và xác định các thực thể

Mặt cầu Trái Đất \(\left( S \right)\): Tâm \(O(0,0,0)\), bán kính \(R = 6400\) km. Phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {6400^2}\)

Vòm An Ninh \(\left( {S'} \right)\) là mặt cầu tâm \(I(0;0;6400)\), bán kính quét \({R_q} = 1280\sqrt {10} \) km.

Vị trí Alpha: \(M(0;5120;3840)\).

Vị trí Beta: \(N(0; - 6400;0)\).

2. Xác định ranh giới Vòm An Ninh và điểm nhập K

Ranh giới Vòm An Ninh là đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( {S'} \right)\). Tọa độ các điểm thuộc ranh giới thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {{6400}^2}\quad (1)}\\{{x^2} + {y^2} + {{(z - 6400)}^2} = {{(1280\sqrt {10} )}^2}\quad (2)}\end{array}} \right.\)

Thay \({x^2} + {y^2} = {6400^2} - {z^2}\) từ (1) vào (2), ta có: \(({6400^2} - {z^2}) + ({z^2} - 12800z + {6400^2}) = 16384000\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {6400^2} - 12800z = 16384000\)

\( \Leftrightarrow 81920000 - 12800z = 16384000 \Leftrightarrow z = 5120\)

Với \(z = 5120\) và \(x = 0\) (do các điểm đang xét nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)), tìm được \(y = 3840\)

Vậy điểm nhập \(K\) có tọa độ: \(K(0;3840;5120)\).

3. Tính toán lộ trình và thời gian của điệp viên Alpha

Lộ trình của Alpha gồm hai giai đoạn di chuyển trên mặt cầu: từ \(M\) xuống Xích đạo (tại điểm \({M_1}\)) và từ \({M_1}\) đến điểm \(K\).

Giai đoạn 1 (\(M \to {M_1}\)): Alpha đi từ \(M(0;5120;3840)\) xuống điểm \({M_1}(0;6400;0)\) trên đường Xích đạo.

o    \(\cos (\widehat {MO{M_1}}) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {O{M_1}} }}{{|\overrightarrow {OM} | \cdot |\overrightarrow {O{M_1}} |}} = \frac{{5120 \cdot 6400}}{{{{6400}^2}}} = 0,8\).

Giai đoạn 2 (\({M_1} \to K\)): Alpha đi từ \({M_1}(0;6400;0)\) đến \(K(0;3840;5120)\).

o    \(\cos (\widehat {{M_1}OK}) = \frac{{\overrightarrow {O{M_1}} \cdot \overrightarrow {OK} }}{{|\overrightarrow {O{M_1}} | \cdot |\overrightarrow {OK} |}} = \frac{{6400 \cdot 3840}}{{{{6400}^2}}} = 0,6\).

Vì \(0,{8^2} + 0,{6^2} = 1\), nên \(\widehat {MO{M_1}} + \widehat {{M_1}OK} = {90^ \circ }\).

Quãng đường Alpha (\({S_A}\)): \({S_A} = R \cdot \frac{\pi }{2} = 6400 \cdot \frac{\pi }{2} = 3200\pi \) (km).

Thời gian Alpha di chuyển (\({t_A}\)): \({t_A} = \frac{{{S_A}}}{{{v_A}}} = \frac{{3200\pi }}{{60}} = \frac{{160\pi }}{3}\) (giờ).

4. Tính vận tốc tối thiểu của tàu truy kích Beta

Beta xuất phát từ \(N(0; - 6400;0)\) để chặn đầu Alpha tại \(K(0;3840;5120)\).

Góc quét \(\widehat {NOK}\):\(\cos (\widehat {NOK}) = \frac{{\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {OK} }}{{|\overrightarrow {ON} | \cdot |\overrightarrow {OK} |}} = \frac{{( - 6400) \cdot 3840}}{{{{6400}^2}}} = - 0,6\).

\[ \Rightarrow sd\left( {ON,OK} \right) = \arccos ( - 0,6) \approx 2,2143\] rad.

Quãng đường Beta (\({S_B}\)):\({S_B} = R \cdot sd\left( {ON,OK} \right) = 6400 \cdot \arccos ( - 0,6) \approx 14171,5\) (km).

Vận tốc tối thiểu (\({v_B}\)):\({v_B} = \frac{{{S_B}}}{{{t_A}}} = \frac{{14171,5}}{{\frac{{160\pi }}{3}}} \approx 84,58\).

Làm tròn đến hàng phần chục, vận tốc tối thiểu tàu Beta cần duy trì là:\({v_B} \approx 84,6{\rm{ km/h}}\)