Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng

Lời giải

Bàn cờ \(8 \times 8\) cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thẳng \(x = 0,x = 1,...,x = 8\) và \(y = 0,y = 1,...,y = 8\).

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng \(x\) và hai đường thẳng \(y\) nên có \(C_8^2 \cdot C_8^2\) hình chữ nhật hay không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2 \cdot C_9^2 = 1296\).

Gọi \(A\) là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh \(a\) lớn hơn 4.

Trường hợp 1: \(a = 5\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 5 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 5 đơn vị có \(4 \cdot 4 = 16\) cách chọn.

Trường hợp 2: \(a = 6\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 6 đơn vị có \(3 \cdot 3 = 9\) cách chọn.

Trường hợp 3: \(a = 7\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 7 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 7 đơn vị có \(2 \cdot 2 = 4\) cách chọn.

Trường hợp 4: \(a = 8\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 8 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 8 đơn vị có \(1 \cdot 1 = 1\) cách chọn.

Suy ra \(n\left( A \right) = 16 + 9 + 4 + 1 = 30\).

Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{30}}{{1296}} = \frac{5}{{216}}\).

Chọn A.