Xác suất để bộ ``test'' cho ra kết quả dương tính khi xét nghiệm người bị bệnh là:

Phương pháp giải:

Công thức xác suất.

Giải chi tiết:

Từ dữ kiện ``Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là 70%'' suy ra

  \[P(A\mid B) = 0,7.\]

Ta có hệ:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{P(B\mid \bar A) = 0,1,}\\{P(A\mid B) = 0,7.}\end{array}} \right.\]

Suy ra:

  \[P(\bar A) = 1 - 0,22 = 0,78,\quad P(\bar AB) = 0,1 \cdot 0,78 = 0,078.\]

Ta có:

  \[P(B) - P(\bar AB) = 0,7P(B) \Rightarrow P(B) = 0,26.\]

Do đó:

  \[P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{P(B) - P(\bar AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,26 - 0,078}}{{0,22}} = 0,8273 = 82,73\% .\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Bayes:

  \(P(B|A) = \frac{{P\left( {A{\rm{|}}B} \right)P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

·        Dùng dữ kiện “nếu test dương tính thì xác suất bị bệnh 70%” để suy ngược ra xác suất test đúng khi có bệnh.