Xác định vị trí của N để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

c)

Vẽ \[NG \bot AB\] kéo dài tại \[G\] và đường kính \[BN'\] của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có: \[{S_{AIN}} = {S_{ABN}} = \frac{1}{2}NG.AB\] (vì \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]).

Để diện tích \[AIN\] lớn nhất thì \[\frac{1}{2}NG.AB\] đạt giá trị lớn nhất, mà \[AB\] là đường kính đường tròn \[\left( O \right)\] nên có giá trị không đổi, do đó ta cần \[NG\] đạt giá trị lớn nhất.

Mà \[NG \le BN\] (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Lại có, \[BN \le BN'\] (trong một đường tròn, độ dài các dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính).

Do đó, \[NG\] đạt giá trị lớn nhất khi \[NG = BN'\] hay \[G \equiv B\], hay \[NB \bot AB,OB \bot AB\].

Suy ra \[B,O,N\] thẳng hàng.

Vậy diện tích \[AIN\] lớn nhất khi \[B,O,N\] thẳng hàng.