Xác định vị trí của điểm A trên đường tròn ( O ) để D H ⋅ D A lớn nhất.

Ta có \(\widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ \) và \(\widehat {DAC} + \widehat C = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông)

Suy ra \[\widehat {EBC} = \widehat {DAC}.\]

Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ \) và \[\widehat {HBD} = \widehat {CAD}.\]

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) hay \(DH \cdot DA = DB \cdot DC.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(DB + DC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)

\(BC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)

\(\sqrt {DB \cdot DC} \le \frac{{BC}}{2}\)

\(DB \cdot DC \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)

Khi đó, \(DH \cdot DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(DB = DC\) hay \(D\) là trung điểm của \(BC.\)

Khi đó, \(AD \bot BC\) tại trung điểm \(D\) của \(BC\) nên \[AD\] là đường trung trực của \(BC.\) Lúc này, \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\).

Vậy điểm \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(DH \cdot DA\) lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là \(\frac{{B{C^2}}}{4}.\)