Xác định tọa độ giao điểm A của parabol ( P ) : y ^ 2 = 32 x và đường thẳng Δ : 2 x − 3 y + 4 = 0 .

Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x - 3y + 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x = 3y - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32.\left( {\frac{3}{2}y - 2} \right) = 48y - 64\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 48y + 64 = 0\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 24 \pm 16\sqrt 2 \\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]

Với \(y = 24 + 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 + 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 + 24\sqrt 2 \)

Suy ra \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\).

Với \(y = 24 - 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 - 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 - 24\sqrt 2 \)

Suy ra \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\).

Vậy \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\) là tọa độ \(A\) cần tìm.