Xác định tất cả các giá trị của m để 1 - {cos}}2x + 2{co{s}}^2}x + 2tan}}x

Đáp án D

\(m = \pm \sqrt 2 \)

Giải thích

Đk: \({\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) khi đó ta có

\(PT \Leftrightarrow 1 + {\rm{tan}}x = 2m{\rm{sin}}x \Leftrightarrow 1 + \frac{{{\rm{sinx}}}}{{{\rm{cos}}x}} = 2m{\rm{sin}}x \Leftrightarrow {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x = 2m{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x\)

Đặt \(t = {\rm{sinx}} + {\rm{cos}}x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Mặt khác, \({\rm{cos}}x \ne 0 \Rightarrow t \ne \pm 1\)

\(PT \Leftrightarrow t = 2m\frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow m{t^2} - t - m = 0\,\,\left( {\rm{*}} \right)\), nhận thấy với mỗi nghiệm \(t \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\) thì cho ta 2 điểm biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Với \(t = \pm \sqrt 2 \) thì cho ta 1 điểm biểu diễn

Để chỉ có 3 điểm biểu diễn thì (*) phải có nghiệm \(t = \sqrt 2 \) hoặc \(t = - \sqrt 2 \), nghiệm còn lại phải thuộc \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\)

+ Với \(t = \sqrt 2 \Rightarrow 2m - \sqrt 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt 2 \Rightarrow \left( {t/m} \right)\)

+ Với \(t = - \sqrt 2 \Rightarrow 2m + \sqrt 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt 2 \Rightarrow \left( {t/m} \right)\)

Vậy \(m = \pm \sqrt 2 \)