Xác định số nghiệm của phương trình x^2 − 2x − 8 = 4 √ ( 4 − x ) ( x + 2 )

Điều kiện: \(\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,4} \right]\).

\({x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} \left( 1 \right)\).

Đặt \(t = \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} \), \(t \ge 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} =  - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 =  - {t^2}\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - {t^2} = 4t\)\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( n \right)\\t =  - 4\left( l \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)}  = 0\)\( \Leftrightarrow  - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( n \right)\\x = 4\left( n \right)\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.