Xác định parabol (P) biết a)(P):y = 2(x^2) + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0;4) b)(P):y = a(x^2)- 4x + c đi qua hai điểm A (1; - 2) và B (2;3)

Hướng dẫn giải         

a) Ta có: \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{b}{{2.2}} = 1 \Leftrightarrow b =  - 4.\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\) suy ra \(4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4.\)

Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.\)

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a - 4 + c\\3 = 4a - 8 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 2\\4a + c = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 1\end{array} \right..\)

c)  Vì (P) có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 5\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 5.\)

d) (P) đi qua các điểm \(A\left( {0; - 1} \right),B\left( {1; - 1} \right);\,C\left( { - 1;1} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = c\\ - 1 = a + b + c\\\,\,\,\,1 = a - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1.\) 

e) Ta có \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (1)

 và \(\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\)  (2) và \(a > 0.\)

Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x + 1.\)