Xác định nguyên hàm I = ( sin ^4 x + cos ^ 4 x ) sin 2 xdax

17/22

Xác định nguyên hàm: \(I = \int {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \)? ta thu được kết quả có dạng \( - \frac{{\cos 2x}}{a} - \frac{{{{\cos }^3}2x}}{b} + C\). Khi đó \({a^2} + b = ?\).

Giải thích

Ta có: \(\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\sin 2x\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x\).

Suy ra: \(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) .

\(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \)\( = - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{1}{4}\int {\left( {1 + {{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right)} } \)\( = \frac{{ - 1}}{4}\int {{\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) - \frac{1}{4}\int {{{\cos }^2}2x} } {\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{{\cos 2x}}{4} - \frac{{{{\cos }^3}2x}}{{12}} + C\)

Khi đó \(a = 4,\,b = 12 \Rightarrow {a^2} + b = 28\).