Xác định hệ số của x^6 trong khai triển

103/235

Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {\frac{1}{{{x^5}}} - 4{x^3}} \right)^n}\) biết \(n\) thỏa mãn: \(C_n^2 + 3C_n^3 = 405\)

\(C_{10}^7{(4)^7}\).

\(C_{10}^6{( - 4)^6}\).

\(C_{10}^7{( - 4)^7}\).

\(C_{10}^6{.4^6}\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

\(C_n^2 + 3C_n^3 = 405\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + 3\frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 405\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 405\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n + \left( {{n^2} - n} \right)\left( {n - 2} \right) = 810\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n + \left( {{n^3} - 3{n^2} + 2n} \right) = 810\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 810\)

\( \Leftrightarrow {n^3} - 2{n^2} + n - 810 = 0 \Rightarrow n = 10\)

Xét khai triển:

\({\left( {\frac{1}{{{x^5}}} - 4{x^3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\frac{1}{{{x^5}}}} \right)^{10 - k}}.{\left( { - 4{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_0^{10} {C_{10}^k} .{( - 4)^k}.{x^{5k - 50}}.{x^{3k}} = \sum\limits_0^{10} {C_{10}^k} .{( - 4)^k}.{x^{8k - 50}}\)

Số hạng chứa \({x^6} \Rightarrow 8k - 50 = 6 \Rightarrow k = 7\)

Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển trên là: \(C_{10}^7{( - 4)^7}\)