\(g'\left( x \right) = f'\left( {x - 1} \right) - \left( {2m + 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) (1).

Ta có: Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có dạng đồ thị hàm bậc 3

\( \Rightarrow \) phương trình \(y = f'\left( x \right)\) có dạng: \(y = f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a \ne 0\)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ: \(\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c + d = 2}\\{0.a + 0.b + 0.c + d = - 1}\\{a + b + c + d = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = - 1}\\{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\end{array}} \right.\) (*)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tọa độ: \(\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

Có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow 12a - 4b + c = 0\) (**)

Từ \(\left( {\rm{*}} \right),\left( {{\rm{**}}} \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\\{12a - 4b + c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{3}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow y = f'\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} + \frac{9}{4}{x^2} - 1\)

\( \Rightarrow f'\left( {x - 1} \right) = \frac{3}{4}{(x - 1)^3} + \frac{9}{4}\left( {x - 1} \right) - 1 = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4\).

\( \Rightarrow \) Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4 - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Xét hàm số: \(h\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 5\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow h\left( x \right) - 2m \ge 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) \ge 2m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

.

Có \(h'\left( x \right) = \frac{9}{4}{x^2} - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2}\)

Ta thấy: \(h'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = h\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \(2m \le - 5 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 5}}{2}\)

Mà \(m \in \left[ { - 2025;2025} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có tất cả 2023 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(2023\).

Xác định hệ số của x^26 trong khai triển ( x^3 − 2/x )^10 .