Xác định hệ số của x 6 trong khai triển ( x^4 − 1/ x^3 ) n biết n là nghiệm của phương trình: C 0 n + 2 C 1 n + 2 2 C 2 n + … 2 n ⋅ C n n = 243

3/47

Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) biết \(n\) là nghiệm của phương trình: \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + \ldots {2^n} \cdot C_n^n = 243\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Xét phương trình

\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + \ldots {2^n} \cdot C_n^n = 243\)

Xét khai triển:

\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + \ldots + C_n^n{x^n}\)

Cho \(x = 2\), thay vào: \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + \ldots + C_n^n{x^n}\) ta có:

\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + \ldots + {2^n}C_n^n\)

\( \Rightarrow {3^n} = 243 = {3^5}\)

\( \Rightarrow n = 5\)

Xét khai triển:

x4−1x35=k=05Cnkx45−k.−1x3k =k=05Cnkx20−4k⋅−1k⋅x−3k=k=05Cnkx20−7k⋅−1k.

Số hạng chứa \({x^6} \Leftrightarrow 20 - 7k = 6 \Rightarrow k = 2\).

Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển là: \(C_5^2 = 10\)

Đáp án cần nhập là: \(10\).