Xác định chiều rộng lối đi để thể tích không gian bên trong lối là lớn nhất.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) cho hai số không âm \(a\) và \(b\), ta có\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)

Lời giải

Chiều rộng mỗi tấm kính là \(\frac{{56\sqrt 2 }}{{2.20}} = \frac{{7\sqrt 2 }}{5}\).

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng lối đi. Ta có \(x \in \left[ {2;3} \right]\).

Chiều cao vẽ từ \(A\) của tam giác \(ABC\) là \(\sqrt {{{\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .x\).

Để thể tích không gian bên trong lối là lớn nhất thì \({S_{ABC}}\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) cho hai số không âm \(\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \) và \(\frac{x}{2}\), ta được

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} .\frac{x}{2} \le \frac{{\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{4}}}{2} = \frac{{49}}{{25}}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt {\frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \frac{{98}}{{25}} - \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow x = 2,8\).

Vậy để thể tích không gian bên trong lối là lớn nhất thì chiều rộng lối đi là \(2,8{\rm{\;m}}\).