x 2 y 2 2(1 y)x = 14y−1
x2 + y2 + 2(1 + y)x = 14y – 1
⇔ x2 + y2 + 2x + 2xy – 14y + 1 = 0
⇔ (x + y)2 + 2x – 14y + 1 = 0
⇔ (x + y)2 + 2(x + y) + 1 = 16y
⇔ (x + y + 1)2 = 16y
Vì (x + y + 1)2 là số chính phương, mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
Mà 16 chia hết cho 4
Nên y chia 4 dư 0 hoặc 1 và y là số chính phương, y ≥ 0 vì (x + y + 1)2 ≥ 0
Đặt y = k2 (k là số nguyên) (k ≥ 0)
Ta có: (x + y + 1)2 = 16k2 = (4k)2
⇔ (x + k2 + 1)2 – (4k)2 = 0
⇔ (x + k2 + 1 + 4k)(x + k2 + 1 – 4k) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - \left( {{k^2} + 4k + 1} \right) = - {\left( {k + 2} \right)^2} + 3\\x = - \left( {{k^2} - 4k + 1} \right) = - {\left( {k - 2} \right)^2} + 3\end{array} \right.\)
Ta thấy trong cả 2 trường hợp thì x ≤ 3
Suy ra: x = 1, 2, 3
Với x = 1, có (y + 2)2 = 16y ⇒ không có y thỏa mãn
Với x = 2, có (y + 3)2 = 16y ⇒ y2 – 10y + 9 = 0 ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\)
Với x = 3, có (y + 4)2 = 16y ⇒ y2 – 8y + 16 = 0 ⇒ y = 4.
Vậy (x ; y) ∈ {(2;1) , (3;4) , (2;9)}.