Với x > 0 , cho hai biểu thức

a) Khi \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện), ta thay vào biểu thức \(A\) ta có \(A = \frac{{4 + 2\sqrt 4 }}{4} = 2\).

Vậy \(A = 2\) khi \(x = 4\).

b) Ta có \[B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\]

Vậy với \(x > 0\) thì \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\].

c) Với \(x > 0\), \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{x}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{x}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{x} = \frac{{x + \sqrt x }}{x}\)

Ta có: \(\frac{A}{B} < \frac{7}{4}\)

  \(\frac{{x + \sqrt x }}{x} < \frac{7}{4}\)

  \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} < \frac{7}{4}\)

       \(\frac{1}{{\sqrt x }} < \frac{3}{4}\)

        \(\sqrt x  > \frac{4}{3}\)

         \(x > \frac{{16}}{9}\)

Vậy số nguyên \(x\) nhỏ nhất thỏa điều kiện bài toán là \(x = 2\).